隼人の雑記ブログ

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詳細解説!アクチュアリー試験 数学 2017年度問題1(3)

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数学

2017年度のアクチュアリー試験の数学の解説です。

問題は、問題1の(3)になります。

 

 

問題

問題$1(2)$

座標平面上の$3$点 $O(0,0),A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0)$を頂点とする直角三角形のつくる領域を $D$とする。領域$D$内で一様に分布する点$P$の$x$座標を確率変数$X$ 、$y$座標を確率変数$Y$で表すと き、共分散$C(X,Y)$は①であり、相関係数$R(X,Y)$は②である。

 

問題$1(3)$の解説

 

共分散、相関係数を求める基礎的な問題です。$y$の範囲に気をつけつつ、計算ミスを起こさないようにしましょう。

 

【第$1$文】 

まずは、図を描きましょう。図を描くことで見えてくる条件とうものもあります。といっても、そんなに難しい図ではないですね。 

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$y$軸との切片が$b$、$x$軸との切片が$a$の直線と$y$軸、$x$軸とで囲まれる領域が$D$と言っているだけです。

 

【第$2$文】 

点$P$の$x$座標と$y$座標がそれぞれ、確率変数となっています。また、点$P$は、領域$D$内で一様分布であることがわかっていますので、領域$D$の面積を求めます。 

$\displaystyle b×a×\frac{ 1 } { 2 } =\frac{ 1 } { 2 }ab $

領域$D$内の面積が、$\displaystyle \frac{ 1 } { 2 }ab$ であり、一様分布であることがわかっていますので、確率変数$X$,$Y$の同時確率密度関数は、

$\displaystyle P(X=x,Y=y)=f(x,y)= \begin{cases} \frac{ 2 } { ab } & \text{$(x,y) \in D$}\ 0 & \text{$(x,y) \otin D$} \end{cases} $

となります。

次に$x$および$y$のとる範囲を考えます。$x$と$y$は、相互に依存しておりますので、今回は$y$が$x$に依存しているとしてそれぞれの定義域を考えます。 $x$の定義域については、$0 leqq x leqq a$となります。$y$の定義域ですが、先ほどの図でも示した通り領域$D$内ですので、$\displaystyle y=-\frac{ b } { a }x +b $ を上回ることができません。よって$y$の定義域は、$\displaystyle 0 leqq y leqq -\frac{ b } { a }x+b$となります。

ここまで確認できたところで、共分散と相関係数の算出方法を確認しておきます。ちなみに、共分散は確率変数のばらつき関係の関連性を示す。相関係数とは、共分散の強さ(相関の強さ)を示すものである。

共分散は、$C(X,Y)$とし、相関係数は、$ \rho (X,Y)$とする。 

\begin{align*} C(X,Y)&=E[{X-E(X)}{Y-E(Y)}] \ &=E(XY)-E(X)E(Y) \end{align*} 

\begin{align*} \rho(X,Y)=\frac{ C(X,Y) } { \sqrt{V(X)V(Y)} } \end{align*}

 

$E(X),E(Y)$、$V(X),V(Y)$は、確率変数の期待値と分散を示す。ここまでが抑えられていれば、あとは、計算のみである。まず、それぞれの期待値、および分散を計算していく。

 

【確率変数$X$の期待値、および分散の計算】

 

\begin{align*} E(X)&=\int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}xf(x,y) dydx \ &=\int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}x\frac{ 2 } { ab } dydx \ &=\frac{ 2 } { ab } \int_0^a x\left[y \right]_0^{-\frac{ b } { a } x+b} dx \ &=\frac{ 2 } { ab } \int_0^a x\left(-\frac{ b } { a } x+b \right) dx \ &=\frac{ 2 } { ab } \left[-\frac{ b } { 3a }x^3+\frac{ b } { 2 } x^2 \right]_0^a \ &=\frac{ 1 } { 3 }a \end{align*} 

 

$V(X)=E(X^2)+E(X)^2$より、$E(X^2)$も計算のため算出しておく。

 

\begin{align*} E(X^2)&=\int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}xf(x,y) dydx \ &=\int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}x^2\frac{ 2 } { ab } dydx \ &=\frac{ 2 } { ab } \int_0^a x^2\left[y \right]_0^{-\frac{ b } { a } x+b} dx \ &=\frac{ 2 } { ab } \int_0^a x^2\left(-\frac{ b } { a } x+b \right) dx \ &=\frac{ 2 } { ab } \left[-\frac{ b } { 4a }x^4+\frac{ b } { 3 } x^3 \right]_0^a \ &=\frac{ 1 } { 6 }a^2 \end{align*}

 

よって、$V(X)$が算出できる。

 

\begin{align*} V(X)&=E(X^2)-E(X)^2 \ &=\frac{ 1 } { 6 } a^2-\left(\frac{ 1 } { 3 }a \right)^2 \ &=\frac{ 1 } { 18 }a^2 \end{align*}

 

【確率変数$Y$の期待値、および分散の計算】

 

\begin{align*} E(Y)&=\int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}yf(x,y) dydx \ &=\int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}y\frac{ 2 } { ab } dydx \ &=\frac{ 2 } { ab } \int_0^a \left[\frac{ 1 } { 2 }y^2 \right]_0^{-\frac{ b } { a } x+b} dx \ &=\frac{ 1 } { ab } \int_0^a \left(-\frac{ b } { a } x+b \right)^2 dx \ &=\frac{ 1 } { ab } \left[\frac{ b^2 } { 3a^2 }x^3-\frac{ b^2 } { a } x^2+b^2x \right]_0^a \ &=\frac{ 1 } { 3 }b \end{align*}

 

\begin{align*} E(Y^2)&=\int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}y^2f(x,y) dydx \ &=\int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}y^2\frac{ 2 } { ab } dydx \ &=\frac{ 2 } { ab } \int_0^a \left[\frac{ 1 } { 3 }y^3 \right]_0^{-\frac{ b } { a } x+b} dx \ &=\frac{ 2 } { 3ab } \int_0^a \left(-\frac{ b } { a } x+b \right)^3 dx \ &=\frac{ 2 } { 3ab } \left[-\frac{ b^3 } { 4a^3 }x^4+\frac{ b^3 } { a^2 } x^3-\frac{ 3 } { 2 } \frac{ b^3 } {a } x^2+b^3x \right]_0^a \ &=\frac{ 1 } { 6 }b^2 \end{align*} 

 

よって$V(Y)$が算出できる。

 

\begin{align*} V(Y)&=E(Y^2)-E(Y)^2 \ &=\frac{ 1 } { 6 } b^2-\left(\frac{ 1 } { 3 }b \right)^2 \ &=\frac{ 1 } { 18 }b^2 \end{align*}

 

共分散の算出に当たっては、$E(X,Y)$の算出が必要であることから、$E(X,Y)$を算出する。

 

\begin{align*} E(X,Y)&=\int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}xyf(x,y) dydx \ &=\frac{ 2 } { ab } \int_0^a \int_0^{-\frac{ b } { a }x+b}xy dydx \ &=\frac{ 2 } { ab } \int_0^a x\left[\frac{ 1 } { 2 } y^2 \right]_0^{-\frac{ b } { a }x+b} dx \ &=\frac{ 1 } { ab } \int_0^a \left(\frac{ b^2 } { a^2 } x^3-\frac{ 2b^2} { a }x^2+x \right) dx \ &=\frac{ 1} { ab } \left[\frac{ b^2 } { 4a^2 } x^4-\frac{ 2b^2 } { 3a }x^3+\frac{ 1 } { 2 }x^2 \right]_0^a \ &=\frac{ ab } { 12 } \end{align*}

 

以上をもって、共分散と相関係数を算出する。

 

\begin{align*} C(X,Y)&=E(X,Y)-E(X)E(Y) \ &=\frac{ ab } { 12 } -\frac{ 1 } { 3 }a・\frac{ 1 } { 3 }b \ &=-\frac{ ab } { 36 } \end{align*}

 

\begin{align*} \rho(X,Y)&=\frac{ C(X,Y) } { \sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)} } \ &=\frac{ -\frac{ ab } { 36 } } { \sqrt{ \frac{ 1 } { 18 }a^2 } \sqrt{ \frac{ 1 } { 18 }b^2 }} \ &=-\frac{ 1 } { 2 } \end{align*}

 

基本を押さえつつ、計算ミスをしないようにしましょう。

 

問題文は、以下より参照できます。

資格試験過去問題集|公益社団法人 日本アクチュアリー会

参考文献としては、以下がおススメ

(Rakutenブックス)

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